5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих...

5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих...


5.3 Ряды Тейлора и Лорана


^ 5.3.1 Ряд Тейлора

Конкретная и аналитическая в точке функция разлагается в округи этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (67)

где коэффициенты рассчитываются по формулам

. (68)

Тут – окружность с центром в точке , полностью лежащая в области аналитичности 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... . Областью сходимости ряда является круг c центром в точке разложения радиуса . Этот радиус равен расстоянию от центра разложения до наиблежайшей особенной точки – точки, в какой теряет аналитичность. В круге сходимости этого 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... ряда суммой его является функция .

Аксиома Тейлора. Функция , аналитическая в круге , совершенно точно представима в нем своим рядом Тейлора (67), коэффициенты которого определяются по формулам (68).

Из этой аксиомы и аксиомы о способности дифференцирования степенного ряда 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в круге сходимости хоть какое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это значит, что по хоть какому способу разложения функции в степенной ряд мы получаем 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (67) именуется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется воспользоваться последующими разложениями простых функций:

1)

2) ,

3) ,

4)

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

(69)

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Разглядим поначалу последующее преобразование данной логарифмической 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... функции: . Воспользуемся разложением 4) из (69) для , полагая . Потому что разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким макаром, для .

Нередко при разложении функций в ряд комфортно воспользоваться дифференцированием 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... либо интегрированием узнаваемых разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простые.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням функцию .

Разложим на простые дроби: .

По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (69) получаем:

и .

замечая 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих..., что , и применяя аксиому о вероятном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости получаем:

.

Складывая ряды для и , получаем .


^ 5.3.2 Ряд Лорана

Определение. Рядом Лорана именуется ряд

.

При всем этом ряд именуется главной частью 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... ряда Лорана, а ряд – правильной частью. Если , то областью сходимости ряда является кольцо .

^ Аксиома Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (63), коэффициенты 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... которого рассчитываются по формулам:

. (70)

Заметим, что из этой аксиомы кольца разложимости определяются через расстояния от центра разложения до 2-ух "примыкающих" особенных точек . Вычисление контурных интегралов (70), обычно, проблемно. Потому для разложения функций 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в ряды Лорана употребляются разные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Преобразуем данную функцию:

. ()

1-ые два слагаемых в правой части () имеют подходящий вид, потому что представляют собой степени 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , .

Применив формулы 7), а потом 8) (из (69)), найдем

, ()

. ()

Подставляя () и () в формулу (), после легких преобразований получаем разложение в кольце в ряд Лорана:

.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в округи .

Для хоть какого всеохватывающего , . Полагая , получаем: . Это разложение справедливо для хоть какой точки . В этом случае "кольцо" представляет собой всю всеохватывающую плоскость с одной выброшенной точкой .

Пример 3. Получить разные 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... разложения в ряд Лорана функции .

Функция имеет две особенные точки: и . Как следует, имеется три "кольца" с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) ; в) – наружность круга . Найдем ряды 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... Лорана для функции в каждом из этих "колец". Представим за ранее функцию в виде суммы простых дробей:

. ().

а) Разложение в круге . Преобразуем () последующим образом:

. ()

Используя формулу 7) из (69), получаем: ();

дальше ().

Подставляя эти разложения 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в (), получаем: – это разложение есть ряд Маклорена функции .

б) Разложение в кольце . Ряд () для функции остается сходящимся в этом кольце, потому что . Ряд () для функции расползается для . Потому преобразуем последующим образом:

. ()

Применяя 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... формулу 7), получаем:

. ()

Этот ряд сходится, если , т.е. при . Подставляя () и () в (), найдем .

в) Разложение для . Ряд () для функции при расползается, а ряд () для функции сходится, потому что, если 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... , то и подавно . Функцию представим в таком виде:

.

Используя формулу 7), получаем

.

Замечание: этот пример указывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообщем говоря, имеет различный вид для различных колец.

Пример 4. Разложить 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в ряд Лорана функцию в округи ее особенных точек.

Особенные точки функции: .

а) Разложение в округи точки , т.е. в кольце . Представим функцию в виде суммы простых дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... разложение 7), в каком заменим на – , получим либо .

б) Разложение в округи точки , т.е. в кольце . Имеем



.

^ 5.4 Задачки для самостоятельного решения


1. Разложить в ряд Тейлора, используя готовые разложения, и отыскать радиусы сходимости рядов:

а 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих...) по степеням ;

б) по степеням ;

в) по степеням ;

г) по степеням .

2. Разложить в ряд Лорана в округи точки последующие функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Разложить последующие функции в ряд 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... Лорана в обозначенных кольцах:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .


6 Нули функции. Изолированные особенные точки


^ 6.1 Нули аналитической функции


Определение. Точка именуется нулем аналитической функции порядка (либо кратности) , если . В случае точка именуется обычным нулем.

Аксиома 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих.... Для того, чтоб точка была нулем -гo порядка функции , аналитической в точке , нужно и довольно, чтоб в некой округи этой точки имело место равенство , где аналитична в точке и .

Пример 1. Отыскать нули 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... функции и найти их порядки.

Из уравнения находим точки , – нули данной функции. Имеем: , , т.е. точки – нули второго порядка данной функции.

Пример 2. Отыскать нули функции и найти их порядки.

Полагая , получаем, что либо . Решая 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... эти уравнения, находим нули функции . Пусть ; тогда можно представить в виде , где функция является аналитической в точке , при этом . Это значит, что точка есть нуль третьего порядка. Аналогично доказывается, что 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... и точка является нулем третьего порядка. Исследуем нули . Производная в точках отлична от нуля. Как следует, – обыкновенные нули функции .


^ 6.2 Изолированные особенные точки


Определение 1. Точка именуется особенной точкой аналитической функции , если в этой точке аналитичность функции 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... нарушается.

Определение 2. Точка именуется изолированной особенной точкой функции , если существует округа этой точки с исключенной точкой , в какой аналитична, не считая самой точки .

Существует три типа изолированных особенных точек. Приведем 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... их определения.

Определение 3. Точка именуется устранимой особенной точкой функции , если разложение этой функции в ряд Лорана в округи точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка именуется полюсом кратности функции , если в разложении 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... функции в ряд Лорана в округи точки основная часть разложения содержит конечное число членов, при этом младшим хорошим от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка именуется значительно особенной точкой функции , если основная часть разложения функции 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в ряд Лорана в округи точки содержит нескончаемое число членов.

Приведем аспекты типа изолированных особенных точек.

1) для того чтоб точка была устранимой особенной точкой функции , нужно и довольно, чтоб существовал ;

2) для того 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... чтоб точка была полюсом кратности функции , нужно и довольно, чтоб , .

3) для того чтоб точка была значительно особенной точкой функции , нужно и довольно, чтоб не существовал.

Полезна последующая аксиома.

Аксиома (связь меж 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... нулями и полюсами). Для того чтоб точка была полюсом порядка функции , необходимо, чтоб она была нулем -го порядка функции .

Пример 1. Для функции особенной точкой является . Покажем это.

;

означает есть устранимая особенная точка.

Пример 2. Для 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... функции , является особенной точкой. Потому что , – это полюс. Потому что для функции точка является нулем 5-ого порядка для функции , то – полюс 5-ого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особенной точкой. Разложение 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... в ряд Лорана: в главной части содержит нескончаемое число членов; это значительно особенная точка.

Пример 4. Отыскать все особенные точки функции и найти их тип.

Особенными точками являются точка и точки 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих..., в каких знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , при этом эти точки являются нулями первого порядка. Как следует, в точках , функция имеет обыкновенные полюса. Точка не является изолированной особенной точкой, потому что она 5.3 Ряды Тейлора и Лорана - Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих... является пределом полюсов: , это значит, что неважно какая округа точки содержит нескончаемое число особенных точек .



53-razvitie-eksperimentalnoj-i-innovacionnoj-deyatelnosti-o-vnesenii-izmenenij-v-postanovlenie-pravitelstva.html
53-rekomendacii-po-vipolneniyu-prakticheskogo-zachetnogo-zadaniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-matematicheskie.html
53-respublika-kareliya-iniciativi-upolnomochennogo-po-pravam-rebenka.html